Matematyka

Geometria analityczna - Wektory

Punkty

Punkt, na płaszczyźnie kartezjańskiej , określany jest przez współrzędne, np. A(xA; yA ),B(xB; yB ).
Środek S(xS; yS), odcinka AB (jego współrzędne), określają wzory:

Środek odcinka.

Punkty

Odległość między dwom punktami można obliczyć za pomocą wzoru wywodzącego się z twierdzenia Pitagorasa:
Odległość punktów.
|AB| oznacza długość odcinka o końcach A i B.

Odcinek, w którym wskazany jest początek i koniec nazywany jest wektorem.


Wektory

Uwaga: wektory mogą być określone i używane bez układu współrzędnych. Używane są w mechanice teoretycznej, fizyce i naukach technicznych.

Wektory mają określony kierunek, zwrot i długość.
Kierunek wyznacza prosta przechodząca przez początek i koniec wektora.
Zwrot okreslają początek i koniec wektora.
Poniżej wektor wektor AB o początku w punkcie A(1; 2) i końcu w punkcie B(4; 4).

Wektor

Wektor, w układzie współrzędnych jest określany za pomocą współrzędnych.
Współrzędne wektora obliczane są przez odjęcie od współrzędnych końca, współrzędne początku.
Współrzędne wektora są równe: współrzędne wektora AB. W powyższym przykładzie wartość współrzędnych wektora AB.
Wektory często oznaczane są jedną małą literą ze strzałką, np. wektor a. Litera a jest nazwą wektora. Nazwa wektora jest często pogrubiona.
Współrzędne są wtedy oznaczane ax i ay.

Długość wektora obliczana jest z wzoru na długość odcinka i jest oznaczana |wektor a| lub ‖wektor a‖, albo krócej a.

długość wektora a


Operacje na wektorach


Dodawanie i odejmowanie wektorów

Wektory można dodawać geometrycznie i algebraicznie. W geometrii analitycznej wykonywane są operacje algebraiczne.
Dodawanie i odejmowanie wektorów wykonywane jest na współrzędnych wektorów.
Współrzędne sumy wektorów są sumą współrzędnych wektorów sumowanych.

dodawanie wektorów dodawanie wektorów współrzędne

Analogicznie współrzędne różnicy wektorów są różnicami współrzędnych wektorów odejmowanych (odjemnej i odjemnika).

odejmowanie wektorów odejmowanie wektorów współrzędne

Mnożenie przez liczbę

Mnożąc wektor przez liczbę mnoży się każdą współrzędną przez tę liczbę.

mnożenie wektora przez liczbę mnożenie wektora przez liczbę wsp

Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym pary niezerowych wektorów wektor a i wektor b nazywany jest iloczyn długości wektorów i cosinusa kąta jaki tworzą wektory. Iloczyn skalarny oznaczany jest: Iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny def, gdzie α oznacza kąt między wektorami

Iloczyn skalarny obliczany jest ze wzoru:

Iloczyn skallarny - wzór

Z definicji iloczyny skalarnego wynika wzór określający cos kąta α między wektorami:

cos kąta między wektorami

Wzór na cos kąta między wektorami można wyprowadzić korzystając z twierdzenia cosinusów.
Wektory są prostopadłe, gdy iloczyn skalarny = 0, gdyż cos pi drugich równe 0.

Stąd warunek prostopadłości wektorów:

warunek prostopadłości wektorów.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy pary wektorów daje w wyniku wektor, który jest prostopadły do obu mnożonych wektorów i ma długość określoną wzorem: absinα, gdzie α oznacza kąt między mnożonymi wektorami. Iloczyn wektorowy oznaczany jest iloczyn wektorowy oznacz.
W programie szkoły średniej pojawia się w programie fizyki na poziomie rozszerzonym, w określeniach niektórych zależności w mechanice i elektromagnetyzmie.
W programie matematyki pojawia się pojęcie wyznacznika pary wektorów, którego wartość jest równa długości iloczynu wektorowego. Wyznacznik obliczany jest ze wzoru:

wyznacznik pary wektorów

Sin kąt między wektorami określa zależność:

sinus kąta między wektorami

Wektory są równoległe gdy wyznacznik wektorów = 0, gdyż sin0=sinpi=0.

Stąd warunek równoległości wektorów:

warunek prostopadłości wektorów