Matematyka

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania trygonometryczne mają zwykle mniej lub bardziej złożona postać. Rozwiązanie polega na doprowadzeniu do prostych równań, o postaci: sinx = sinα, cosx = cosα, tgx = tgα lub ctgx = ctgα,
gdzie α jest znanym kątem.

Każde z równań ma swoją standardową odpowiedź, wynikającą z własności funkcji i jej okresowości.

Równanie sinx = sinα

Funkcja sinx ma okres . Każdą wartość, poza ekstremalnymi, funkcja sinus osiąga dwa razy w okresie
– dla kąta α i dla kąta π – α (dla x∈<0; 2π>).

Równanie sin

Rozwiązaniem równania są wartości:
x = α + 2kπ lub x = π - α + 2kπ, k ∈ C (do liczb całkowitych)

Równanie cosx = cosα

Funkcja cosx ma okres . Każdą wartość, poza ekstremalnymi, funkcja cosinus osiąga dwa razy w okresie
– dla kąta α i dla kąta 2π – α (dla x∈<0; 2π>). W rozwiązaniach wygodniej użyć, zamiast kąta 2π – α,
kąta –α,
o (okres funkcji) mniejszego od 2π – α.

Równanie cos

Rozwiązaniem równania są wartości: x = α+2kπ lub x = -α+2kπ, k ∈ C

Równanie tgx = tgα

Funkcja tgx ma okres π. Każdą wartość funkcja tangens osiąga raz w okresie
– dla kąta α (dla x∈<-π/2; π/2>).

Równanie tg

Rozwiązaniem równania są wartości: x=α+kπ, k ∈ C

Równanie ctgx = ctgα

Funkcja ctgx ma okres π. Każdą wartość funkcja tangens osiąga raz w okresie – dla kąta α (dla x∈<0; π>).

Rnanie ctg

Rozwiązaniem równania są wartości: x=α+kπ, k ∈ C

Na rozwiązania podane powyżej nakładane są czasem ograniczenia wynikające z rozwiązywania równania dla zmiennej z podanego przedziału.

Nierówności

Nierówności trygonometryczne rozwiązuje się tak samo jak równania. Celem przekształceń jest uzyskanie nierówności określającej wartość jednej z funkcji trygonometrycznych. W odpowiedziach należy uwzględniać okresowość funkcji.

Przykład: sinx > sinα

Wartości funkcji sinx spełniające nierówność zaznaczone są kolorem czerwonym.

Nierówność sin

Odp: x∈(α+2kπ; π-α+2kπ), k ∈ C