Matematyka

Geometria analityczna - Prosta

Prosta

W geometrii euklidesowej prosta (obok punktu) jest pojęciem pierwotnym. Z omówienia funkcji liniowej znane jest równanie prostej w postaci kierunkowej - y=ax+b.

Wprowadzając i wykorzystując pojęcie wektora kierunkowego, można stwierdzić, że prosta przechodząca przez punkt P(x0, y0) jest zbirem (miejscem geometrycznym) punktów P(x,y), dla których wektor wektor na prostej jest prostopadły do wektora kierunkowego wektor kierunkowy.

wektor prostopadły do prostej

Korzystając z warunku prostopadłości wektorów można napisać

A(x - x0) + B(y - y0) = 0

I po przekształceniach otrzymać

Ax + By - Ax0 - By0 = 0

Po oznaczeniu C = -Ax0 - By0 uzyskane zostanie równanie prostej w postaci ogólnej

Ax + By + C = 0.
Musi być spełniony warunek, że A i B nie są jednocześnie równe 0, A2 + B2 nie 0.

Postać kierunkową można przekształcić na ogólną i odwrotnie.



Prosta przez dwa punkty

W celu wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, np. A(x1,y1) i B(x2,y2) można rozwiązać układ równań powstały przez podstawienie współrzędnych punktów do ogólnego równania prostej w postaci kierunkowej i wyliczyć potrzebne parametry równania. Układ równań dla punktów A i B wygląda następująco:

układ równań kierunkowych

Wzór ogólny łatwiej wyprowadzić korzystając z warunku równoległości wektorów. Należy użyć dwóch wektorów leżących na szukanej prostej. Jeden wektor wyznaczają punkty A i B, a drugi punkty A i P(x, y). Punkt P należy, tak jak A i B, do prostej. Wektory wektor AB na prostej i wektor AP na prostej są równoległe. Prawdziwa jest zależność:

(x2 - x1)(y - y1) - (y2 - y1)(x - x1) = 0

Po przekształceniu można uzyskać postać:

prosta przez dwa punkty

Dane są dwie proste o równaniach:

A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0

Punkt przecięcia (wspólny) dwóch prostych

W celu znalezienia punktu wspólnego (punktu przecięcia) dwóch prostych należy rozwiązać układ równań utworzony z równań prostych. Rozwiązaniem będą współrzędne punktu przecięcia, czyli punktu należącego do obu prostych jednocześnie.



Proste równoległe

Proste są równoległe gdy A1B2 - A2B1 = 0.

Wynika to z warunku równoległości wektorów kierunkowych obu prostych.

W celu określenia równania prostej równoległej do prostej Ax+By+C=0 i przechodzącej przez punkt P(x0,y0) należy napisać równanie Ax+By+C1=0. Parametr C1 wyznaczany jest po wstawieniu do tego równania współrzędnych punktu P(x0,y0).



Proste prostopadłe

Proste są prostopadłe gdy A1A2 + B1B2 = 0.

W celu określenia równania prostej prostopadłej do prostej Ax+By+C=0 i przechodzącej przez punkt P(x0,y0) należy napisać równanie -Bx+Ay+C1=0 lub Bx-Ay+C2=0. Parametry C1 lub C2 są wyznaczane po wstawieniu do jednego z tych równań współrzędnych punktu P(x0,y0). W obu przypadkach warunek prostopadłości szukanej prostej i prostej danej jest spełniony.

W podobny sposób wyznacza się proste równoległe i prostopadłe do prostej danej w postaci kierunkowej.



Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej jest to najkrótsza z odległości między danym punktem, a punktem należącym do prostej.

W celu znalezienia odległości punktu P(x0,y0) od prostej Ax+By+C=0 należy:

- poprowadzić, z punktu P, prostą prostopadłą do danej prostej;
- wyznaczyć punkt przecięcia prostej prostopadłej z prostą daną;
- obliczyć odległość punktu przecięcia od punktu P.

Po wykonaniu tych kroków na wzorach ogólnych otrzymuje się wzór na odległość punktu od prostej

odległość punktu od prostej



Odległość między prostymi równoległymi

W celu znalezieniu odległości między prostymi Ax+By+C1=0 i Ax+By+C2=0 należy powtórzyć procedurę znajdowania odległości punktu od prostej, z tą różnicą, że punkt, którego odległość od jednej prostej jest liczona, musi należeć do drugiej prostej. Po przeprowadzeniu obliczeń na wzorach ogólnych zostanie uzyskany wzór

odległość prostych równoległych