Matematyka

Przykłady


Badanie przebiegu zmienności funkcji

Zadanie
Należy zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować jej wykres:
badana funkcja

Rozwiązanie
1. Określenie dziedziny funkcji
Z dziedziny należy wyłączyć wartość, dla której mianownik się zeruje, a więc liczbę 3.
Dziedziną jest zbór R\{3}.

2. Obliczenie granic na krańcach dziedziny Do policzenia są cztery granice: w -∞, w +∞, lewostronna dla x=3 i prawostronna dla x=3.
granic w minus niesk granica w plus niesk
Granice te oznaczają, że funkcja ma asymptotę poziomą o równaniu y=1.

granica lewa w 3 granica prawa w 3
Granice te oznaczają, że funkcja ma asymptotę pionową o równaniu x=3.

3. Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych
Punkt wspólny z osią Ox, a więc mający y=0, wyznacza się rozwiązując równanie równanie.

Punkt ten nazywany jest miejscem zerowym funkcji lub pierwiastkiem równania. W omawianym przykładzie tym punktem jest (0;0).

Punkt wspólny z osią Oy, a więc mający x=0, wyznaczany jest przez obliczenie wartości funkcji dla x=0.
wartość dla 0. W omawianym przykładzie punktem tym jest (0;0).


4. Wyznaczanie asymptot (pionowej i poziomej), jeśli istnieją

Asymptoty zostały określone w punkcie 2.

5. Określenie przedziałów monotoniczności

W celu określenia przedziałów monotoniczności należy obliczyć pochodną funkcji i określić kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy ujemna.
Pochodna badanej funkcji to: pochodna

Otrzymane wyrażenie można skrócić. Lepiej jednak zostawić w mianowniku czwartą potęgę. O znaku pierwszej pochodnej będzie decydował licznik.
Schematyczny wykres licznika przedstawiony jest poniżej.

znak pochodnej

Pochodna jest dodatnia dla x∈(0;3). W tym przedziale funkcja jest rosnąca.
Pochodna jest ujemna dla x∈(-∞;0)∪(3; ∞). W tych przedziałach funkcja jest malejąca.

6. Wyznaczenie ekstremów

W punkcie (0;0) pochodna przyjmuje wartość 0 i zmienia wartości (znak) z ujemnych na dodatnie. Z tego wynika, że w punkcie (0;0) funkcja ma minimum.
Dla x=3 funkcja nie jest określona. Nie ma więc w tym punkcie ekstremum.

7. Tabela

tabela

8. Wykres

wykres