Matematyka

Interpretacja i zastosowanie pochodnej


Styczna do krzywej


Ilorazu różnicowy równy jest tangensowi kąta jaki tworzy sieczna przechodząca przez punkty (x0 ; f(x0))
i (x0+Δx ; f(x0+Δx)). Na rysunku poniżej jest to kąt β. Gdy Δx dąży do zera to sieczna zbliżą się do stycznej, a wartość ilorazu różnicowego dąży do wartości pochodnej w punkcie x0. Stąd stwierdzenie, że wartość pochodnej w punkcie x0, jest równa współczynnikowi kierunkowemu styczne do krzywej poprowadzonej
w tym punkcie, czyli tangensowi kata α.

styczna

Jeśli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0, to równanie styczne do wykresu funkcji, w tym punkcie ma postać: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).



Badanie monotoniczności funkcji

Podstawą określania monotoniczności funkcji f(x) są stwierdzenia, prawdziwe dla funkcji różniczkowalnych w pewnym przedziale:
jeśli f'(x)>0, dla każdego punktu rozpatrywanego przedziału, to f(x) jest rosnąca w tym przedziale;
jeśli f'(x)<0, dla każdego punktu rozpatrywanego przedziału, to f(x) jest malejąca w tym przedziale;
jeśli f'(x)≥0, dla każdego punktu rozpatrywanego przedziału, to f(x) jest niemalejąca w tym przedziale;
jeśli f'(x)≤0, dla każdego punktu rozpatrywanego przedziału, to f(x) jest nierosnąca w tym przedziale;
jeśli f'(x)=0, dla każdego punktu rozpatrywanego przedziału, to f(x) jest stała w tym przedziale;.



Wyznaczanie ekstremum lokalnego funkcji

Funkcja może mieć kilka ekstremów tego samego typu (min, max). Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie, to ekstrema globalne.
Rozpatrywane będą funkcje różniczkowalne.
Jeśli w punkcie x0 istnieje pochodna, to warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pierwszej pochodnej.

Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremu w tym samym punkcie jest zmiana znaku pierwszej pochodnej.
Podsumowując – warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego wygląda jak niżej.

Gdy dla funkcji różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0, zachodzi f'(x) = 0, to:
jeśli f'(x) < 0 dla x < x0 i f'(x) > 0 dla x > x0, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum lokalne;

jeśli f'(x) > 0 dla x < x0 i f'(x) < 0 dla x > x0, to funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne;

Istniej drugi warunek, oparty na pochodnych wyższych rzędów, ale nie jest ujęty w obecnym programie szkoły średniej (ponadgimnazjalnej).

Problemy optymalizacji

Zadania tego typu polegają na znalezieniu ekstremalnej (min, max) wartości pewnej wielkości, określonej jako funkcja innej. Przykładem może być znalezienie długości boków prostokąta o największym polu, gdy znany jest jego obwód.



Badanie przebiegu zmienności funkcji

Celem postepowania, nazywanego badaniem funkcji jest, określenie własności rozpatrywanej funkcji i naszkicowanie jej wykresu. Procedura badania funkcji składa się z kilku kroków:

1. Określenie dziedziny funkcji

2. Obliczenie granic na krańcach dziedziny

3. Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych

4. Wyznaczanie asymptot (pionowej i poziomej), jeśli istnieją

5. Określenie przedziałów monotoniczności

6. Wyznaczenie ekstremów

7. Wykonanie tabeli zawierającej własności funkcji – tabela składa się z wierszy odpowiadających kolejno: wartościom argumentu, wartościom pierwszej pochodnej wartościom funkcji

8. Wykonanie wykresu

Przykład