Matematyka

Granica funkcji

Pojęcia podstawowe


Otoczenie

Otoczenie U(x0;r) punktu x0 na osi Ox i promieniu r, jest to przedział (x0-r;x0+r).




Sąsiedztwo

Sąsiedztwo S(x0;r) punktu x0 na osi Ox i promieniu r,
jest to zbiór: (x0-r;x0 )∪(x0;x0+r) ).



Sąsiedztwo punktu x0 jest to otoczenie punktu x0 bez punktu x0.

Dalej rozpatrywane będą funkcje określone na zbiorze X i wartościach w zbiorze Y, gdzie X∈R i Y∈R. Ciąg {xn}, którego każdy wyraz należy do dziedziny funkcji, stanowi ciąg argumentów. Ciąg {yn}={f(x,n)}, stanowi ciąg wartości funkcji dla odpowiadających elementów ciągu {xn}.


Granica funkcji

Definicja Heinego

Liczba g jest granicą właściwą funkcji f(x) w punkcie x0, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {xn}
o wyrazach z sąsiedztwa punktu x0 zbieżnego do x0, ciąg wartości funkcji {f(xn)} jest zbieżny do g.





Granica niewłaściwa

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą ∞ (-∞) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
o wyrazach z sąsiedztwa punktu x0, zbieżnego do x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji {f(xn)} jest rozbieżny do ∞ (-∞).


Granica w punkcie niewłaściwym (w nieskończoności)

Funkcja f(x) ma w ∞ (-∞) granicę równą g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji {xn}, rozbieżnego do ∞ (-∞), odpowiadający mu ciąg wartości funkcji {f(xn)} jest zbieżny do g.




Często występuje granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (nieskończoności), np. dla wielomianów.

Rozróżnia się granice lewostronne i prawostronne. Granica w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy gdy istnieją w tym punkcie granice obustronne i są sobie równe.

Na poniższym rysunku funkcja f(x) ma, w punkcie x0, granicę lewostronną równą g i prawostronną, niewłaściwą, równą ∞. Funkcja nie posiada w tym punkcie granicy (granice: lewostronna i prawostronna nie są równe).


granica lewostronna i prawostronna

Działania arytmetyczne na granicach funkcji




W przypadku granic niewłaściwych wzory te mogą nie być słuszne.


Wyrażenia:

nazywane są symbolami nieoznaczonymi, a ich granice wyznacza się zależnie od konkretnego przypadku.


Ciągłość funkcji

Funkcja f(x), określona w pewnym otoczeniu punktu x0, wtedy i tylko wtedy gdy:
- określona jest wartość funkcji w punkcie x0;
- istnieje granica funkcji w punkcie x0;
- granica funkcji w punkcie x0 jest równa wartości funkcji w punkcie x0.


Przykład funkcji, która nie jest ciagła w punkcie x0.


Funkcja nie jest ciągła w punkcie x0 ponieważ nie posiada, w tym punkcie, granicy.
Granice: lewostronna i prawostronna istnieją, ale są różne.


Asymptoty

Asymptota wykresu funkcji - to prosta, do której nieograniczenie zbliża się wykres funkcji.


Asymptota pionowa


Asymptota pionowa, o równaniu x=a, może wystąpić tylko w punkcie nienależącym do dziedziny funkcji i będącym krańcem dziedziny funkcji.

Aby istniała asymptota pionowa lewostronna musi być spełniony warunek

asymptota pionowa lewostronna minus niesk  lub  asymptota pionowa lewostronna plus niesk

Aby istniała asymptota pionowa prawostronna musi być spełniony warunek

asymptota pionowa lewostronna minus niesk  lub  asymptota pionowa prawostronna plus niesk

Asymptoty lewostronna i prawostronna nie muszą być równe. Może istnieć tylko jedna z asymptot.


asymptota pionowa

Asymptota pozioma


Asymptota pozioma, o równaniu y=b, istnieje, gdy istnieje granica właściwa

asymptota pozioma llewostronna  (asymptota lewostronna)

lub

asymptota pozioma prawostronna   (asymptota prawostronna).

Może istnieć jedna lub obie asymptoty. Asymptoty lewostronna i prawostronna nie muszą być równe.


asymptota pozioma lprawostronna

Asymptota ukośna


Asymptota ukośna, o równaniu y=ax+b, istnieje, gdy istnieją granice właściwe

asymptota ukośna lewostronna a  i  asymptota ukośna lewostronna b (asymptota lewostronna).

lub

asymptota ukośna prawostronna a  i  asymptota ukośna prawostronna b (asymptota prawostronna).

Może istnieć jedna lub obie asymptoty. Asymptoty lewostronna i prawostronna nie muszą być jednakowe.


asymptota ukośna