Matematyka

Funkcja liniowa

Wzór ogólny y = ax + b, x ∈ R

Gdy a ≠ 0, to funkcję nazywa się funkcją 1-go stopnia.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Interpretacja geometryczna parametrów a i b

Funkcja liniowa

b – rzędna punktu wspólnego wykresu funkcji i osi y;
atgα, gdzie α – kąt jaki wykres funkcji tworzy z osią x;
parametr a nazywany jest współczynnikiem kierunkowym prostej;

Prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny, jedna określona nierównością y > ax + b, a druga nierównością y < ax + b.

półpłaszczyzny

Monotoniczność funkcji liniowej zależy od współczynnika a. Ilustrują to rysunki poniżej.

funkcja malejącafunkcja stała funkcja rosnąca

a < 0a = 0a > 0

funkcja malejąca funkcja stała funkcja rosnąca

Funkcja liniowa może mieć najwyżej jedno miejsce zerowe, określone wzorem: x0 = -b przez a

Równania liniowe

Równanie liniowe jest to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze. Rozpatrywane będzie równanie z jedną niewiadomą, zwykle oznaczaną literą x.

ax + b = 0, gdzie a ≠ 0.
Rozwiązaniem równania jest: x = -b przez a.

Zwykle równanie jest bardziej rozbudowane (złożone). Postać przedstawioną powyżej otrzymuje się po serii przekształceń.

Przekształceniami są:
Dodawanie do i odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia (liczby).
Mnożenie i dzielenie przez tą samą liczbę obu stron równania.

Nierówności pierwszego stopnia.
Po serii przekształceń uzyskiwana jest postać ax + b > 0, a ≠ 0 , lub podobna.

Jej rozwiązaniem jest:
x > b przez a, dla a > 0 lub x < b przez a, dla a < 0.



Dwie proste

Proste o równaniach: y = a1x + b1 i y = a2x + b2

są równoległe gdy a1 = a2

i prostopadłe gdy a1 ∙ a2 = –1.

W celu wyznaczenia prostej równoległej lub prostopadłej, do danej prostej (y=a1x+b1) i przechodzącej przez punkt P(x0,y0), należy wyznaczyć, z powyższych zależności, jej współczynnik kierunkowy a2. Wyraz wolny b2 można obliczyć po wstawieniu współrzędnych punktu P do równania y=a2x+b2, ze wstawionym, wyznaczonym a2.