Matematyka

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna: f(x) = ax2 + bx + c, x ∈ R

Gdy a ≠ 0 funkcję nazywamy kwadratową lub trójmianem kwadratowym.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Gdy a = 1, b = c = 0 funkcja przyjmuje postać  f(x) = x2, a jej wykres przedstawiony jest poniżej.

parabola

Parabola jest symetryczna względem osi przechodzącej przez jej wierzchołek, znajdujący się, w przedstawionym przykładzie, w punkcie (0,0), w stosunku do a = 1.

Wykres funkcji, dla a ≠ 1 jest parabolą o wolniejszych zmianach wartości (dla a ∈ (-1,1)) i szybszych
(dla a ∈ (-∞,-1) ∪ (1,∞)).

x2 stromosc

Gdy a>0 funkcja kwadratowa ma minimum, gdy a<0, ma maksimum.

x2 a

Po przesunięciu wykresu funkcji y=ax2 o wektor [p,q] uzyskany zostanie funkcja f(x)=a(x-p)2+q.
Punkt (p,q) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem trójmianu. Współrzędne wierzchołka oznaczane są również (xw,yw).

x2_przes

Równanie powyższe nazywane jest postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego. Postać kanoniczną można uzyskać przekształcając postać ogólną trójmianu.

p = xw = xw, q = yw = yw, gdzie ∆ = b2 - 4ac

∆ (delta) nazywana jest wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

Trójmian kwadratowy może mieć najwyżej dwa miejsca zerowe.

Miejsca zerowa wyliczane są z wzorów:

Gdy ∆ > 0 - są dwa miejsca zerowe: x1 = x1, x2 = x2.

Gdy ∆ = 0 - jest jedno miejsce zerowe (nazywane czasem podwójnym): x0 = xw x0.

Gdy ∆ < 0 - brak miejsc zerowych.

Określanie liczby miejsc zerowych, w zależności od parametru występującego w trójmianie, nazywa się dyskusją trójmianu kwadratowego.

Możliwe przypadki ilustrują poniższe rysunki:

aw dw aw dr aw dm


am dw am dr am dm

Z miejscami zerowymi związane jest pojęcie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego.

Gdy ∆ > 0: f(x) = a(x - x1)(x - x2).

Gdy ∆ = 0: f(x) = a(x - x0)2.

Gdy istnieją miejsca zerowe (∆ ≥ 0) określone są wzory Viete’a:

x1 + x2suma pierwiastków,  x1 ∙ x2iloczyn pierwiastków.

Wzory Viete’a wykorzystywane są w dyskusji trójmianu kwadratowego, do formułowania warunków określających znaki miejsc zerowych.

Równanie kwadratowe, w postaci ogólnej wygląda następująco: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Jeżeli równanie ma inną postać, to należy je przekształcić do postaci ogólnej. Pierwiastki równania to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

Nierówności kwadratowe, w postaci ogólnej wygląda następująco: ax2 + bx + c > 0, a ≠ 0. Zwrot i rodzaj nierówności może być inny. Jeżeli nierówność ma inną postać, to należy je przekształcić do postaci ogólnej. Po wyznaczeniu miejsc zerowych i wykonaniu szkicu wykresu można podać rozwiązanie nierówności.

nieróności kwadratowe

Gdy nierówność jest typu ax2 + bx + c > 0, rozwiązaniem jest zbiór x ∈ (-∞;x1) ∪ (x2;∞).

Gdy nierówność jest typu ax2 + bx + c ≥ 0, rozwiązaniem jest zbiór x ∈ (-∞;x1 ] ∪ [x2;∞).

Gdy nierówność jest typu ax2 + bx + c < 0, rozwiązaniem jest zbiór x ∈ (x1;x2).

Gdy nierówność jest typu ax2 + bx + c ≤ 0, rozwiązaniem jest zbiór x ∈ [x1;x2].