Matematyka

Dyskusja trójmianu kwadratowego

Przyjęte są typowe oznaczenia trójmian: f(x)= ax2+bx+c, x1, x2, Δ.

Przedstawione są częściej spotykane problemy dyskusji trójmianu. Przyjęte jest założenie, że dwa pierwiastki oznacza dwa różne pierwiastki, a więc warunki a≠0 i Δ>0. Pierwiastki równania to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.
Dla poszczególnych zagadnień podane są warunki, jakie muszą być spełnione.

Dwa różne pierwiastki

dwa różne pierwiastki

Jeden pierwiastek (nazywany podwójnym)

Jeden pierwistek

Brak pierwiastków

Brak pierwiastków

Wartości dodatnie dla wszystkich wartości x

Dodatnie dla każdego x

Wartości ujemne dla wszystkich wartości x

Ujemne dla każdego x

Dwa pierwiastki o jednakowych znakach

Dwa pierwiastki o jednakowych znakach

Dwa pierwiastki o różnych znakach

Dwa pierwiastki o róznych znakach

Dwa pierwiastki dodatnie

Dwa pierwiastki dodatnie

Dwa pierwiastki ujemne

Dwa pierwiastki ujemne

Suma kwadratów pierwiastków spełniająca podany warunek, np. równa określonej wartości.

Dwa rózne pierwiastki

Sumę kwadratów należy przekształcić jak niżej (skorzystać ze wzoru na sumę kwadratów) i zastosować wzory Viete’a.

Suma kwadratów pierwiastków trójmianu kwadratowego

Suma odwrotności pierwiastków spełniająca podany warunek, np. równa określonej wartości.

Dwa rózne pierwiastki

Sumę kwadratów należy przekształcić jak niżej i zastosować wzory Viete’a

Suma odwrotności pierwiastków

Suma sześcianów spełniająca podany warunek.

Dwa rózne pierwiastki

Sumę sześcianów należy przekształcić jak niżej (skorzystać z wzoru na sześcian sumy, lub wzoru na sumę sześcianów i sumę kwadratów) i zastosować wzory Viete’a.

Suma sześcianów pierwiastków

lub

Suma sześcianów pierwiastków 1

przykład z matury rozszerzonej z 09.05.2018

Suma sześcianów pierwiastków większa od

Liczba np. 2 zawarta między pierwiastkami.

Liczba zawarta między pierwiastkami min Liczba między pierwiastkami min

lub

Liczba zawarta między pierwiastkami max Liczba zawarta między pierwiastkami max

Oba pierwiastki zawarte w przedziale, np. (0; 1) (między 0 i 1)

Pierwiastki w przedziale min Pierwiastki w przedziale min

lub

Pierwiastki w przedziale max Pierwiastki w przedziale max

Oba pierwiastki mniejsze od np. 4.

Pierwiastki mniejsze od min Pierwiastki mniejsze od min

lub

Pierwiastki mniejsze od max Pierwiastki mniejsze od max

Oba pierwiastki większe od 3.

Analogicznie (z odpowiednimi zmianami), jak dla przypadku, gdy pierwiastki są mniejsze od 4.


Odmiennym problemem jest wyznaczenie najmniejszej lub największej wartości trójmianu kwadratowego w przedziale domkniętym. Należy wtedy rozpatrzeć wartość ekstremum i wartości na krańcach rozpatrywanego przedziału.